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萬向節(jié)目錄

1.歐拉角2.萬向節(jié)鎖-2.1 什么是Gimbal ----2.2 Pitch、Yaw、Roll----2.3 萬向節(jié)死鎖--------2.3.1 橫滾--------2.3.2 俯仰--------2.3.3 偏航--------2.3.4 死鎖的產(chǎn)生--------2.3.5 重現(xiàn)萬向節(jié)鎖問題(不看)-2.3.6 若2.3.不懂就看這個(gè)(不看)3 總結(jié)

與其他形式相比，四元數(shù)的優(yōu)勢(shì)大致如下:

解決萬向節(jié)死鎖只需4個(gè)浮點(diǎn)，比矩陣更輕，無論求逆、串聯(lián)等操作，都比矩陣更高效

本文簡要分析了萬向節(jié)死鎖的原因。

1、歐拉角

歐拉角用來表示剛體的當(dāng)前姿勢(shì)。

思想:將剛體繞某一軸旋轉(zhuǎn)，分解為依次繞X、Y、Z軸的三次旋轉(zhuǎn)。這三個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)角度是一組三個(gè)歐拉角。

圖為上述三次旋轉(zhuǎn)(實(shí)際上可以繞一個(gè)軸，一次旋轉(zhuǎn)可以達(dá)到最終位置)

具體旋轉(zhuǎn)過程的例子如圖所示：

圖中有兩組坐標(biāo)系，我們定義為：

：世界坐標(biāo)系(固定不動(dòng)) ：剛體坐標(biāo)系(與剛體同步運(yùn)動(dòng))

具體旋轉(zhuǎn)步驟如下：

1.繞世界系  軸，旋轉(zhuǎn)  二、繞剛系統(tǒng)  軸，旋轉(zhuǎn)  角。3.繞剛系統(tǒng)  軸，旋轉(zhuǎn)  角。

下面是一個(gè)直觀的動(dòng)圖展示（  對(duì)應(yīng)  ，  對(duì)應(yīng)  ，  對(duì)應(yīng)  ）。圖片來源gfycat。

以上旋轉(zhuǎn)步驟  按順序標(biāo)記  ，角度是一個(gè)完整的歐拉角：

———下面是休息線的第二部分，萬向節(jié)鎖（Gimbal Lock）

萬向節(jié)死鎖發(fā)生在歐拉角形式下，是由歐拉旋轉(zhuǎn)定義本身造成的。

參考:萬向節(jié)死鎖（Gimbal Lock）問題。

2.1 什么是Gimbal

平衡環(huán)架(英語:Gimbal），它是一種具有樞紐的裝置，可以使物體以單軸旋轉(zhuǎn)。由垂直樞紐軸組成的一組三個(gè)平衡環(huán)框架可以保持最內(nèi)部環(huán)框架的物體的旋轉(zhuǎn)軸不變，并應(yīng)用于陀螺儀、羅盤、飲料杯框架，不受波浪振動(dòng)和船體轉(zhuǎn)向的影響。-百度百科全書

如圖：

靜態(tài)圖：

上圖就是一Gimbal該裝置是陀螺儀。中間有一個(gè)垂直軸，穿過一個(gè)金屬圓盤。金屬圓盤稱為轉(zhuǎn)子，垂直軸稱為旋轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)子由金屬制成，以提高質(zhì)量和慣性。垂直軸的外側(cè)是三個(gè)嵌套環(huán)，它們相互交叉，帶來三個(gè)方向的自由旋轉(zhuǎn)。

叫陀螺儀。

2.2 Pitch、Yaw、Roll

陀螺儀分別繞X、Y、Z旋轉(zhuǎn)三個(gè)軸時(shí)的旋轉(zhuǎn)角。直接等同于歐拉角。如圖所示:

繞機(jī)身右方 軸旋轉(zhuǎn)，稱為pitch，俯仰。繞機(jī)頭上方 軸旋轉(zhuǎn)，稱為Yaw，偏航。繞機(jī)頭前方 軸旋轉(zhuǎn)，稱為Roll，橫滾。

可見與歐拉角形式基本相同。

2.3 萬向節(jié)死鎖

陀螺儀是用來測(cè)量平衡和速度的工具。當(dāng)載體高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，陀螺儀應(yīng)始終通過自我調(diào)節(jié)保持轉(zhuǎn)子原有的平衡。

為了幫助理解，以下是一個(gè)簡單的陀螺儀示意圖(省略金屬圓盤)。

把三個(gè)Gimbal用不同的顏色標(biāo)記，底部有三個(gè)軸向，RGB分別對(duì)應(yīng)XYZ。假設(shè)陀螺儀現(xiàn)在被放在船上，船頭的方向沿著 Z軸，即右前方。

2.3.1 橫滾

現(xiàn)在假設(shè)船體在前面搖晃，也就是橫向滾動(dòng)。由于轉(zhuǎn)子和旋轉(zhuǎn)軸的慣性較大，只要不直接施加扭矩，就會(huì)保持原來的姿勢(shì)。由于上圖中的綠色活動(dòng)連接器可以靈活旋轉(zhuǎn)，因此會(huì)發(fā)生相對(duì)旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致以下情況：

2.3.2 俯仰

再假設(shè)船體發(fā)生了pitch搖晃，也就是俯仰。同樣，轉(zhuǎn)子和旋轉(zhuǎn)軸將保持平衡，因?yàn)橛邢鄳?yīng)方向的相對(duì)旋轉(zhuǎn)接頭(紅色接頭)，如下圖所示:

2.3.3 偏航

最后，假設(shè)船體發(fā)生了yaw搖晃，即偏航，此時(shí)船體水平旋轉(zhuǎn)。藍(lán)色連接器發(fā)生相對(duì)旋轉(zhuǎn)。如下圖所示：

最后，發(fā)生在船體上Pitch、Yaw、Roll陀螺儀可以通過自身的調(diào)節(jié)來平衡轉(zhuǎn)子和旋轉(zhuǎn)軸。

2.3.4 死鎖的產(chǎn)生

上述陀螺儀一切正常，在船體任何方向搖晃都可以通過自身調(diào)節(jié)來處理。

若船體發(fā)生劇烈變化，此時(shí)船首抬起(抬頭)90度，此時(shí)陀螺儀調(diào)整狀態(tài)如下圖所示：

此時(shí)，船體再次轉(zhuǎn)動(dòng)，沿著當(dāng)前世界坐標(biāo) Z軸(藍(lán)軸，應(yīng)該指向船底)旋轉(zhuǎn)，看看發(fā)生了什么。

現(xiàn)在，轉(zhuǎn)子不平衡，陀螺儀的三板斧不起作用。它失去了自己的調(diào)節(jié)能力。那為什么呢？ 陀螺儀之所以能通過自身調(diào)節(jié)保持平衡，是因?yàn)橛幸粋€(gè)可以相對(duì)旋轉(zhuǎn)的連接器。在這種情況下，沒有相對(duì)旋轉(zhuǎn)的連接器。 連接器呢？去了哪里？顯然，它還在那里，但連接器可以旋轉(zhuǎn)的相對(duì)方向不是現(xiàn)在需要的 Z軸方向。從上圖中，我們可以清楚地看到：

紅色連接器：可以給予相對(duì)俯仰的自由。綠色連接器：可以給予相對(duì)偏航的自由。藍(lán)色連接器：可以給予相對(duì)偏航的自由。

是的，三個(gè)連接器提供的自由度只對(duì)應(yīng)于俯仰和偏航，桶滾自由度丟失。這是陀螺儀上的萬向鎖問題。

2.3.5 用小程序重現(xiàn)萬向節(jié)鎖問題(不看)

首先，預(yù)設(shè)下一個(gè)歐拉角變化順序。見下圖:

在上圖中，紅色框中的部分列表記錄了下一個(gè)歐拉角的增長和變化過程。也就是說，它將從(0、0、0)變?yōu)?90、0、0)、(90、90、0)、(90、180、0)、(90、180、90)、90、180、180)。下圖是變化的過程演示。

現(xiàn)在可以看到： - X軸首先旋轉(zhuǎn)90度，此時(shí)執(zhí)行Pitch(俯仰)變化。 - 然后在Y軸上變化0-180度，此時(shí)執(zhí)行相對(duì)自身的Roll(桶滾)變化。 - 然后Z軸變化0-180度，此時(shí)仍在執(zhí)行相對(duì)本身Roll(桶滾)變化。

這里提到的俯仰、桶滾、偏航都是相對(duì)于自己的局部坐標(biāo)系。這和上述陀螺儀中的問題是一樣的，萬向鎖。也就是說，盡管歐拉角在那里XYZ三行三個(gè)軸向(持續(xù)增長或減少)，但影響最終結(jié)果的只對(duì)應(yīng)兩個(gè)軸向。

2.3.6 若“2.3.5不懂，看下面這個(gè)(不看)

我們不考慮Y軸和Z軸，假設(shè)它總是0。先說X軸，然后在X軸周圍移動(dòng)，最終的影響是預(yù)期的俯仰變化。如下圖所示:

然而，當(dāng)Z軸為90度時(shí)，X軸周圍的進(jìn)動(dòng)變?yōu)槠剑缦聢D所示：

也就是說，歐拉角的X軸進(jìn)動(dòng)導(dǎo)致最終的變化結(jié)果，受到預(yù)執(zhí)行的Z軸進(jìn)動(dòng)的影響，仍然會(huì)導(dǎo)致相對(duì)自身的軸向變化，但結(jié)果不是唯一的；同樣，歐拉角的Y軸進(jìn)動(dòng)也受到Z軸和X軸的影響，結(jié)果更加獨(dú)特。

然而，上述過程嚴(yán)格遵守歐拉角的順序和軸向定義。在某些時(shí)候，這種不確定性可能會(huì)導(dǎo)致軸向自由度的喪失。 以下圖為例：

首先執(zhí)行歐拉角Z軸的進(jìn)動(dòng)，導(dǎo)致桶滾，沒問題。 根據(jù)定義，歐拉角Y軸的執(zhí)行，導(dǎo)致Y軸沿歐拉旋轉(zhuǎn)，這也是根據(jù)定義執(zhí)行的。然而，這種沿Y軸旋轉(zhuǎn)也反映了物體的桶滾動(dòng)變化。

3 總結(jié)

綜上所述，歐拉角的萬向節(jié)鎖問題是由歐拉旋轉(zhuǎn)定義本身造成的。這種固定軸在選擇旋轉(zhuǎn)前固定Z、再X、Y的旋轉(zhuǎn)操作并不一定是一對(duì)一的映射，而不是預(yù)期的三個(gè)軸可以旋轉(zhuǎn)。在某些情況下，它是多對(duì)一的映射，導(dǎo)致一些缺乏旋轉(zhuǎn)自由，即死鎖。

在編程中很難避免死鎖，所以現(xiàn)在更多的四元表示和旋轉(zhuǎn)。

解決四元數(shù)姿態(tài)的文章，幾天后開始更新。