四元數應用——轉矩陣、Slerp插值與萬向節

四元數應用——順序無關的旋轉混合

—————————————————————————————————————————

今天說一些關于四元數的相關實例，較前兩篇可能有些零碎，算是對于前兩章的補充說明。具體來說，我們接下來會討論三個問題，第一個是四元數與矩陣的轉換，其次是四元數的插值問題，最后說一下萬向節死鎖問題。話不多說，開始正題。

1.四元數的矩陣形式

目前對于大多數底層的圖形API，其對于空間坐標的轉換還是基于矩陣。所以當我們使用四元數對旋轉進行操作，最終傳遞給頂點著色器的數據還是要以矩陣的形式。不過，從應用層的角度來說，我們只要滿足如下的公式就可以實現轉換。

我相信大多數人并不滿足于背公式，推導該公式的方法主要有兩種。其中一種就是從代數的角度進行求解，說白了就是硬算。我們在《四元數和旋轉（二）》中提到一個公式：

我們分別求出各項，可以得到三個矩陣，然后相加就是上面那個轉換公式。這里不做推導，有興趣的可以自己算一算。下面介紹一種比較靈性的一種證明方法。當給定下面兩個四元數：

我們令他們相乘，其實可以寫成矩陣與向量相乘的形式，如下圖：

可以這么說，兩個四元數相乘轉變成矩陣L右乘四元數q。發散一下思維，我們還可以將該行為寫成矩陣R左乘四元數q，具體形式如下圖：

最體看L和R括號里面的四元數下標，由于四元數不滿足交換律，所以順序很重要，而括號里面的下標其實是不一樣的，這個地方一定要注意。基礎知識講完了，下面就直接進行應用。根據旋轉公式和以上的定義，我們很容易得到如下公式：

然后將L和R帶入上述的矩陣中，我們可以得到：

證畢！

2.四元數的Slerp插值

其實插值問題一直都算是圖形學中比較經典的問題，一般來說線性插值可以滿足大多數的情況，但是對于旋轉來說，線性插值肯定效果不好，我們來看下圖：

從圖中很明顯看出，左圖（線插）要遜于右圖（球插）。一種從動畫的角度解釋是，為了保證每幀的旋轉都是均勻變化的，線性插值得到的旋轉結果一定是不均勻的，這主要考慮的是旋轉角度。那我們從代數的角度去思考，如果兩個單位四元數之間進行插值，如左圖的線性插值，得到的四元數一定不是單位四元數，我們期望對于旋轉的插值應該是不改變長度的，所以顯然右圖球面（Slerp）插值更為合理。

關于四元數的球面插值證明就很多了，Wiki上面就有很詳細的證明以及實現的Code。主體思想其實就是施密特正交，先根據 和 解算出兩個正 交的四元數，然后通過加權算出最終的 。下圖能很好的說明白這個事。

下面主要討論的是這個問題，上圖中給出了球面插值公式的一種形式，我們暫且稱為加法形式。由于四元數旋轉是相乘的形式，我們上述的公式亦可以寫成：

鑒于刨根問底的精神，首先先說說四元數的差（Difference），這個比較好理解，類似于矩陣，A和B的差，可以理解成先旋轉A逆然后再旋轉B，得到A和B之間的差值，表示為 。然后我們如果去t倍的差或者直接說差乘以一個t因子，這里就要引用了我們在《四元數與旋轉（一）》中所述的四元數指數形式。對于 ，我們來看看 和 的情況，具體如下：

最后我們令 以及 ，根據下面公式重新審視一下球面插值：

可以看出，兩種表現形式之間是可以互相轉化的。

3.萬向節死鎖

其實這個問題不能算的上四元數的應用，萬向節死鎖早期是用來處理機械臂在旋轉時自由度缺失的問題，由于當時機械臂的關節都是單自由度的，所以在模擬人體某些球形關節（自由度為3的關節）的時候，會采用三組相互正交的機械關節進行模擬。

如圖所示，機械關節1-3共同模擬了手腕的活動，這里會導致一個問題，當關節2旋轉90°后，關節1和關節3會重合，這樣無論旋轉關節1還是旋轉關節3都只會沿著 軸進行旋轉，這就是萬向節死鎖。值得一提的是，當你旋轉關節1，關節2和關節3都會隨著一起動，而當你旋轉關節3，無論怎么旋轉也不會影響關節2和關節1，所以只有關節2旋轉90°會產生萬向節死鎖。

當早期計算機動畫將機器人那套東西搬過來的時候，最簡單的做法就是用歐拉角直接模擬旋轉。這就導致了萬向節死鎖。那怎么去理解計算機動畫里面的這個問題呢，畢竟動畫里面也沒有機械關節。

我們假定三個歐拉角的旋轉順序如下

當 的時候， 和 就會重合，如右圖，這樣就會產生萬向節死鎖。

所以為了避免這個問題，圖形學旋轉開始使用軸角，因為軸角可以講三個歐拉角等效成一個繞著特定軸旋轉的角度。低版本的OpenGL有個函數glRotate函數，實現的方法就是使用軸角。當然，并不是軸角不存在萬向節死鎖，當存在三個相互正交的軸角按一定順序進行旋轉，依然會產生萬向節死鎖，不過這種情況很難發生。

那么軸角已經解決這個問題，為什么我們要用四元數？

4.四元數總結

最后點個題，呼應一下前文，具體說說四元數的好處：

解決萬向節死鎖（Gimbal Lock）問題。（不要去用四元數模擬歐拉角！）僅需存儲4個浮點數，相比矩陣更加輕量。比如矩陣至少要用9個float進行表示旋轉信息，即便加上旋轉縮放，也會比矩陣少存2-6個float，對于在PC上開發的游戲可能并不顯著，畢竟現在內存都大，但在家用機（特別是上世代）上，內存比較吃緊的情況下就相當有利了。四元數無論是求逆、串聯等操作，相比矩陣更加高效。比如取反就等同于求逆，即便是正交矩陣，轉置的操作代價也比取反要高得多，更何況大多數情況由于存在縮放，求逆的操作會更加復雜。但是，使用四元數需要考慮將四元數與矩陣之間轉換的成本，不過綜合考慮，還是四元數操作成本比較低。

基本上四元數在我這也就告一段落了，之后會有請人 @Obsver Anonym 續一篇具體應用的文章，請大家敬請期待！